\[\begin{array}{l} \smallint {\sin ^{ - 1}}x{\rm{d}}x\\\\ ByParts\\ u = si{n^{( - 1)}}x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{d}}u = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\ dv = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v = x\\\\ x{\sin ^{ - 1}}x - \smallint x \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\rm{d}}x\\ By{\rm{ }}Substitution\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \;\;\;Suppose \Rightarrow z = {x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dz = 2\;x\;dx\\\\ x{\sin ^{ - 1}}x - \frac{1}{2}\smallint \frac{1}{{\sqrt {1 - z} }}{\rm{d}}z\\ \Rightarrow x{\sin ^{ - 1}}x + \frac{1}{2} \cdot 2{\left( {1 - z} \right)^{\frac{1}{2}}} + c\;\\ \Rightarrow x{\sin ^{ - 1}}x + \sqrt {1 - {x^2}} + c \end{array}\]
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